acwing算法基础课笔记-整数离散化

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前言

这里特指：整数的离散化，有序的离散化。

简概

有一些值较大的数，值域[0∼109][0\sim10^9]，个数只有10510^5个

存在问题：

有些题目要用到这些数字的值作为索引下标来使用，开辟一个大约 10910^9大小的数组不现实。（或者类似于数轴，无数多个值）

解决方案:进行映射，离散化

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使用场景：范围非常大，但是数值点分布特别稀疏。

进一步说明

例子

acwing 802. 区间和

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 0。

现在，我们首先进行 n 次操作，每次操作将某一位置 x 上的数加 c。

接下来，进行 m 次询问，每个询问包含两个整数 l 和 r，你需要求出在区间 [l,r] 之间的所有数的和。

数据范围：

−109≤x≤109−10^9\le x \le 10^9

1≤n,m≤1051\le n,m \le 10^5

−109≤l≤r≤109−10^9 \le l \le r \le 10^9

−10000≤c≤10000−10000 \le c \le 10000

解题思路：

前缀和

所有用到的下标集中起来，进行排序，映射到从1开始的自然数

若x要加c，则将x映射到的a[k] += c （x映射到k）

本题中映射过来的下标k是代表着，数值x在原来alls数组中的次序（按从小到大），并且从1开始（便于计算前缀和）

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同理，若要求[l, r]区间上的和，则求a[kl,kr]a[k_l, k_r]之间的所有数和即可。（l映射到klk_l，r映射到krk_r)

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排序后，1映射到下标0，2映射到下标1，100映射到下标2，2000映射到下标3……

代码模板

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010; // 插入操作100000，查询操作100000+100000，总共30 0000 即n+2*m

int n, m;
int a[N], s[N]; // s[]是前缀和 
// a[]保存的是映射过后的下标对应的值

vector<int> alls; // 存的所有待离散化的值
vector<PII> add, query;

int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid; // 注意一定要是≥x
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // s[]下标从1开始
}

vector<int>::iterator unique(vector<int> &a)
{
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
        if (!i || a[i] != a[i - 1])
            a[j ++ ] = a[i];
    // a[0] ~ a[j - 1] 所有a中不重复的数

    return a.begin() + j;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});

        alls.push_back(x);
    }

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});

        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }

    // 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls), alls.end());

    // 处理插入
    for (auto item : add)
    {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }

    // 预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    // 处理询问
    for (auto item : query)
    {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }

    return 0;
}

关于unique函数

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vector<int>::iterator unique(vector<int> &a)
{
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
        if (!i || a[i] != a[i - 1]) // 利用｜｜运算符号的夹断效应
            // 当i==0时直接执行下面语句，满足图中第一个条件
            a[j ++ ] = a[i];
    // a[0] ~ a[j - 1] 所有a中不重复的数

    return a.begin() + j;
}